¹ Department of Mathematics, Saber Faculty of Science and Education, Lahej University, Yemen.

Email: fadhlsna@gmail.com

Abstract: This paper introduces and investigates a new class of special functions called the Humbert matrix polynomials of three variables. The study presents their definition via generating functions and explores their algebraic properties. A detailed examination is provided on their hypergeometric matrix representations, in addition to deriving new generating matrix functions. Furthermore, the paper establishes expansions of these polynomials in terms of well-known classical polynomials such as Legendre, Gegenbauer, Hermite, and Laguerre polynomials. These results extend existing theories of matrix orthogonal polynomials and provide a unified framework to study various families of polynomials through a matrix approach.

Keywords: Humbert matrix polynomials, three variables, hypergeometric matrix function, generating functions, orthogonal polynomial expansions.

المستخلص: تتناول هذه الورقة البحثية فئة جديدة من الدوال الخاصة تُعرف باسم كثيرات حدود همبرت المصفوفية ذات الثلاثة متغيرات. حيث يتم تقديم تعريفها من خلال دالة التوليد، كما يتم استكشاف خصائصها الجبرية بالتفصيل. وتتناول الدراسة كذلك التمثيلات المصفوفية لها باستخدام الدوال الفائقة الهندسية (Hypergeometric)، بالإضافة إلى اشتقاق دوال توليد إضافية. كما تقدم الورقة توسعات لهذه الكثيرات الحدودية باستخدام كثيرات حدود كلاسيكية معروفة مثل كثيرات حدود ليجيندر، وجيغينباور، وهيرميت، ولاجور. وتمثل هذه النتائج امتداداً للنظريات القائمة حول كثيرات الحدود المتعامدة المصفوفية، وتوفر إطاراً موحداً لدراسة عائلات متعددة من كثيرات الحدود عبر منهج مصفوفي.

الكلمات المفتاحية: كثيرات حدود همبرت المصفوفية، ثلاثة متغيرات، الدالة الفائقة الهندسية المصفوفية، دوال التوليد، توسعات كثيرات الحدود المتعامدة.